讀數有高有低，怎麼找出背後的趨勢？
把散落的觀測記錄放在一起，找一條整體最貼近它們的線。
連續拍攝時，光點在畫面中的位置讀數不可能次次完美。你想知道它整體怎麼移動，而不是被某一次讀偏牽著走。先看七次示意記錄，再比較直線與彎曲的擬合。
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先猜一下
記錄有誤差時，好的擬合曲線必須穿過每一個點嗎？
查看答案與解釋
不必 — 最小平方法追求整體殘差平方和最小，不要求每個測量值都剛好落在曲線上。
再把體驗和科學連結起來
先選一類曲線
同一批記錄既能擬合直線，也能擬合彎曲的線。先選曲線家族，才有「最佳」的意思。
y = Σ cⱼ fⱼ(x)
量出每個豎直差值
每個點在同一個 x 位置，與曲線有垂直差。這些差有正有負，直接相加會互相抵消。
殘差 eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
把平方和壓到最小
把每個差值平方再加起來。程式求出使它最小的係數，曲線不必穿過每個點。
SSE = Σeᵢ² → 最小
擬合好，不等於證明原因
相關係數只衡量線性關係。 r 接近零也可能有清楚的曲線規律；擬合與相關都不能自動證明因果。
r = Sxy / √(Sxx Syy)
把計算鏈展開
ŷᵢ = Σⱼ cⱼ fⱼ(xᵢ) SSE = Σᵢ(yᵢ − ŷᵢ)² Σⱼ[Σᵢ fₖ(xᵢ)fⱼ(xᵢ)]cⱼ = Σᵢ fₖ(xᵢ)yᵢ r = Sxy/√(Sxx Syy)
正規方程式對每個基底函數k各寫一行，聯立求係數。 Sxx、Syy為去均值平方和，Sxy為去均值乘積和；任一平方和為零時r未定義。
試一試
先在同一組記錄間比較直線和二次曲線；再把一個讀數改偏。切到「r=0的曲線」看看沒有線性相關是否真的等於沒有規律。
動手看一遍 →
符號不用背
- x / y
- 橫座標視為準確，縱座標含測量誤差
- eᵢ
- 第 i 個點到曲線的垂直殘差
- SSE
- 殘差平方和
- r
- Pearson 線性相關係數；常數資料時未定義
- cⱼ / fⱼ
- 待定係數 / 事先選定的基底函數
演算法、精確度與適用範圍
原書第4章，印刷頁35–46，重點(4.2)、(4.3)、(4.5)–(4.8)。普通示意記錄是人工構造的像素座標，不是真實天體運動測量。實驗0/1使用相同七點；實驗2採用印刷頁40的拋物線反例；實驗3採用例4.c的20個四位小數數據；實驗4採用例4.d的六點。所有模型假設x準確、對y作未加權垂直最小二乘，不處理x誤差或加權/穩健擬合。三正弦模型的x單位為度。採用QR解線性係數，與書中正規方程式為相同目標，避免直接求逆；不是將相關解釋為因果。 AA+未提供對應專用模組，使用原書例題與獨立最適性檢定。這裡不復存在全部歷史彗星/太陽黑子資料分析，也不推算未來天體位置。
我的理解檢查
為什麼要把殘差平方再相加？
避免正負誤差互相抵消 — 正負殘差直接求和可能為零，卻不代表偏差小。
線性相關係數 r = 0，能斷言完全沒有規律嗎？
不能 — 書中七個點的線性相關為零，卻精確落在一條拋物線上。
擬合結果很好，是否已經證明 x 導致了 y？
沒有 — 還需要物理機制、實驗設計等證據；數學相關不是因果證明。
最佳擬合只在選定的曲線家族與誤差定義中成立；殘差、相關性與因果要分開看。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 4 章