Показания высокие и низкие. Как найти тенденцию, стоящую за этим?
Сложите разрозненные записи наблюдений вместе и найдите линию, наиболее близкую к ним в целом.
Общие алгоритмы и численные вычисления
При непрерывной съемке считывание положения световой точки в кадре не всегда может быть идеальным. Вы хотите знать, как он движется в целом, а не руководствоваться какой-то одной предвзятостью чтения. Сначала посмотрите на схематические записи семь раз, а затем сравните соответствие прямых и кривых.
Угадай сначала
При регистрации ошибок должна ли хорошо подобранная кривая проходить через каждую точку?
Показать ответ и объяснение
Незачем — Метод наименьших квадратов стремится минимизировать сумму квадратов общих остатков и не требует, чтобы каждое измеренное значение точно попадало на кривую.
Тогда соедините опыт и науку
Сначала выберите тип кривой
В одну и ту же партию записей могут входить как прямые, так и изогнутые линии. Выбор семейства кривых в первую очередь будет иметь значение «лучшее».
y = Σ cⱼ fⱼ(x)
Измерьте каждую вертикальную разницу
Каждая точка находится в одной и той же позиции x, что является отклонением по вертикали от кривой. Эти различия могут быть положительными или отрицательными, и их непосредственное сложение будет компенсировать друг друга.
Остаточная ошибка eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
Минимизировать сумму квадратов
Сложите квадраты каждой разности. Программа находит коэффициенты, которые минимизируют ее без необходимости прохождения кривой через каждую точку.
SSE = Σeᵢ² → минимум
Хорошее соответствие не означает доказательство причины
Коэффициент корреляции измеряет только линейную зависимость. Могут наблюдаться четкие кривые, когда r близко к нулю; ни подгонка, ни корреляция не могут автоматически доказать причину и следствие.
r = Sxy / √(Sxx Syy)
Развёрнутые вычисления
ŷᵢ = Σⱼ cⱼ fⱼ(xᵢ) SSE = Σᵢ(yᵢ − ŷᵢ)² Σⱼ[Σᵢ fₖ(xᵢ)fⱼ(xᵢ)]cⱼ = Σᵢ fₖ(xᵢ)yᵢ r = Sxy/√(Sxx Syy)
Нормальное уравнение записывает одну строку для каждой базисной функции k и одновременно вычисляет коэффициенты. Sxx и Syy — сумма квадратов с вынесенным средним значением, а Sxy — сумма произведений с вынесенным средним значением; r не определен, если любая сумма квадратов равна нулю.
попробуй
Сначала сравните прямую и квадратичную кривую между одним и тем же набором записей; затем компенсируйте показания. Перейдите к «кривой r=0», чтобы увидеть, действительно ли отсутствие линейной корреляции означает отсутствие закономерности.
Нет необходимости запоминать символы
- x / y
- Абсцисса считается точной, а ордината содержит ошибки измерений.
- eᵢ
- Вертикальная невязка от i-й точки до кривой
- SSE
- остаточная сумма квадратов
- r
- коэффициент линейной корреляции Пирсона; не определено для постоянных данных
- cⱼ / fⱼ
- Неопределенные коэффициенты/предварительно выбранные базисные функции
Алгоритм, точность и область применения
Глава 4 оригинальной книги, печатные страницы 35–46, ключевые формулы (4.2), (4.3), (4.5)–(4.8). Обычные схематические записи представляют собой искусственно созданные координаты пикселей, а не реальные измерения небесного движения. В эксперименте 0/1 использовались те же семь точек; В эксперименте 2 использовался параболический противоположный пример напечатанной страницы 40; В эксперименте 3 использовались 20 четырехзначных десятичных данных примера 4.c; В эксперименте 4 использовались шесть точек примера 4.d. Все модели предполагают точный x, невзвешенные вертикальные наименьшие квадраты по y и не обрабатывают ошибки x или взвешенные/робастные подгонки. Единицами x для трехсинусоидальной модели являются градусы. Использование QR для решения линейных коэффициентов преследует ту же цель, что и обычные уравнения в книге, и позволяет избежать прямой инверсии; речь идет не об интерпретации корреляции как причины и следствия. AA+ не предоставляет соответствующих специализированных модулей, поэтому используются оригинальные книжные примеры и независимые проверки оптимальности. Здесь не будет воспроизведен весь исторический анализ данных о кометах/солнечных пятнах, а также не будут предсказаны будущие положения небесных тел.
мое понимание, проверка
Зачем добавлять квадраты остатков?
Избегайте положительных и отрицательных ошибок, которые исключают друг друга. — Прямая сумма положительных и отрицательных невязок может быть равна нулю, но это не означает, что отклонение мало.
Коэффициент линейной корреляции r = 0, можем ли мы сказать, что закономерности нет вообще?
не могу — Линейная корреляция семи точек в книге равна нулю, но они попадают точно по параболе.
Подгонка отличная, доказано ли, что x вызывает y?
Нет — Также необходимы такие доказательства, как физический механизм и план эксперимента; математическая корреляция не является причинным доказательством.
Наилучшее соответствие справедливо только для выбранного семейства кривых и определения ошибки; остатки, корреляцию и причинно-следственную связь следует рассматривать отдельно.
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · Нет. 4 глава
Общие алгоритмы и численные вычисления · Все интерактивные курсы