測定値は高い場合と低い場合があります。その背後にあるトレンドを見つけるにはどうすればよいでしょうか?
散らばった観察記録を統合し、全体として最も近い線を見つけます。
連続撮影の場合、フレーム内の光点の位置を毎回完璧に読み取ることができません。単一の読み取りバイアスに導かれるのではなく、全体がどうなるかを知りたいと考えています。まず、概略図の記録を 7 回確認し、直線と曲線の適合度を比較します。
まずは推測してください
エラーを記録するとき、適切に適合した曲線はすべての点を通過する必要がありますか?
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必要なし — 最小二乗法は、全体の残差の二乗和を最小化しようとするものであり、各測定値が正確に曲線上にある必要はありません。
そして経験と科学を結びつける
まず曲線の種類を選択します
レコードの同じバッチは直線と曲線の両方に適合します。最初にカーブ ファミリを選択することは、「最良」の意味を持ちます。
y = Σ cⱼ fⱼ(x)
各高低差を計測
各点は同じ x 位置にあり、曲線とは垂直方向に異なります。これらの差はプラスまたはマイナスになる可能性があり、それらを直接加算すると互いに打ち消し合います。
残留誤差 eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
二乗和を最小化する
それぞれの差の二乗を合計します。プログラムは、曲線がすべての点を通過することなく、曲線を最小化する係数を見つけます。
SSE = Σeᵢ² → 最小値
適合性が良いということは、その理由を証明することを意味するものではありません
相関係数は線形関係のみを測定します。 r がゼロに近い場合、明確な曲線パターンが存在する可能性があります。フィッティングも相関も原因と結果を自動的に証明することはできません。
r = Sxy / √(Sxx Syy)
計算の流れを詳しく見る
ŷᵢ = Σⱼ cⱼ fⱼ(xᵢ) SSE = Σᵢ(yᵢ − ŷᵢ)² Σⱼ[Σᵢ fₖ(xᵢ)fⱼ(xᵢ)]cⱼ = Σᵢ fₖ(xᵢ)yᵢ r = Sxy/√(Sxx Syy)
正規方程式は基底関数 k ごとに 1 行を記述し、係数を同時に計算します。 Sxx と Syy は平均を除去した二乗和、Sxy は平均を除去した積の和です。二乗和がゼロの場合、r は未定義です。
試してみてください
まず、同じレコードのセット間の直線と二次曲線を比較します。次に読み取り値をオフセットします。 「r=0 曲線」に切り取って、線形相関がないことが本当にパターンがないことと等しいかどうかを確認します。
見てみてください →
記号を覚える必要はありません
- x / y
- 横軸は正確であるとみなされ、縦軸には測定誤差が含まれます。
- eᵢ
- i 番目の点から曲線までの垂直残差
- SSE
- 残差二乗和
- r
- ピアソンの線形相関係数。定数データの場合は未定義
- cⱼ / fⱼ
- 未決定の係数/事前に選択された基底関数
アルゴリズム、精度、適用範囲
元の本の第 4 章、印刷ページ 35 ～ 46、主要な公式 (4.2)、(4.3)、(4.5) ～ (4.8)。通常の概略記録は人工的に構築されたピクセル座標であり、実際の天体運動の測定値ではありません。実験 0/1 では同じ 7 点を使用しました。実験 2 では、印刷されたページ 40 の放物線の反例を使用しました。実験 3 では、例 4.c の 20 個の 4 桁の 10 進データを使用しました。実験 4 では、例 4.d の 6 つのポイントを使用しました。すべてのモデルは、正確な x、y 上の重み付けされていない垂直最小二乗法を前提とし、x エラーや重み付き/ロバスト近似を処理しません。 3 正弦モデルの x の単位は度です。 QR を使用して線形係数を解くことには、本書の正規方程式と同じ目的があり、直接逆変換を回避できます。それは相関関係を原因と結果として解釈することではありません。 AA+ は対応する専用モジュールを提供していないため、オリジナルの書籍の例と独立した最適性チェックが使用されます。ここでは、歴史的な彗星/黒点データの分析全体が再現されることはありません。また、将来の天体の位置が予測されることもありません。
私の理解度チェック
なぜ二乗残差を追加するのでしょうか?
正の誤差と負の誤差が互いに打ち消し合わないようにする — 正の残差と負の残差の直接和はゼロになる場合がありますが、偏差が小さいことを意味するわけではありません。
線形相関係数 r = 0 は、パターンがまったくないと言えるでしょうか?
できない — この本の 7 つの点の線形相関はゼロですが、それらは正確に放物線上にあります。
適合度は素晴らしいですが、x が y を引き起こすことは証明されましたか?
いいえ — 物理的メカニズムや実験計画などの証拠も必要です。数学的な相関関係は因果関係の証明ではありません。
最適な適合は、選択したカーブ ファミリとエラー定義にのみ当てはまります。残差、相関関係、因果関係は個別に検討する必要があります。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · いいえ。 4 章