读数有高有低，怎样找出背后的趋势？
把散落的观测记录放在一起，找一条整体最贴近它们的线。
连续拍摄时，光点在画面中的位置读数不可能次次完美。你想知道它总体怎么移动，而不是被某一次读偏牵着走。先看七次示意记录，再比较直线与弯曲的拟合。
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先猜一下
记录有误差时，一条好的拟合曲线必须穿过每一个点吗？
查看答案与解释
不必 — 最小二乘追求整体残差平方和最小，不要求每个测量值都恰好落在曲线上。
再把体验和科学连起来
先选一类曲线
同一批记录既能拟合直线，也能拟合弯曲的线。先选曲线家族，才有“最佳”的含义。
y = Σ cⱼ fⱼ(x)
量出每个竖直差值
每个点在同一个 x 位置，与曲线有一个竖直差。这些差有正有负，直接相加会相互抵消。
残差 eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
把平方和压到最小
把每个差值平方再加起来。程序求出使它最小的系数，曲线不必穿过每个点。
SSE = Σeᵢ² → 最小
拟合好，不等于证明原因
相关系数只衡量线性关系。r 接近零也可能有清楚的曲线规律；拟合与相关都不能自动证明因果。
r = Sxy / √(Sxx Syy)
把计算链展开
ŷᵢ = Σⱼ cⱼ fⱼ(xᵢ) SSE = Σᵢ(yᵢ − ŷᵢ)² Σⱼ[Σᵢ fₖ(xᵢ)fⱼ(xᵢ)]cⱼ = Σᵢ fₖ(xᵢ)yᵢ r = Sxy/√(Sxx Syy)
正规方程对每个基函数k各写一行，联立求系数。Sxx、Syy为去均值平方和，Sxy为去均值乘积和；任一平方和为零时r未定义。
试一试
先在同一组记录间比较直线和二次曲线；再把一个读数改偏。切到“r=0的曲线”看看没有线性相关是否真的等于没有规律。
动手看一遍 →
符号不用背
- x / y
- 横坐标视为准确，纵坐标含测量误差
- eᵢ
- 第 i 个点到曲线的竖直残差
- SSE
- 残差平方和
- r
- Pearson 线性相关系数；常数数据时未定义
- cⱼ / fⱼ
- 待定系数 / 事先选定的基函数
算法、精度与适用范围
原书第4章，印刷页35–46，重点式(4.2)、(4.3)、(4.5)–(4.8)。普通示意记录是人工构造的像素坐标，不是真实天体运动测量。实验0/1使用相同七点；实验2采用印刷页40的抛物线反例；实验3采用例4.c的20个四位小数数据；实验4采用例4.d的六点。所有模型假设x准确、对y作未加权竖直最小二乘，不处理x误差或加权/稳健拟合。三正弦模型的x单位为度。采用QR解线性系数，与书中正规方程是同一目标，避免直接求逆；不是将相关解释为因果。AA+未提供对应专用模块，使用原书例题与独立最优性检查。这里不复现全部历史彗星/太阳黑子数据分析，也不推算未来天体位置。
我的理解检查
为什么把残差平方再相加？
避免正负误差互相抵消 — 正负残差直接求和可能为零，却不代表偏差小。
线性相关系数 r = 0，能断言完全没有规律吗？
不能 — 书中七个点的线性相关为零，却精确落在一条抛物线上。
拟合结果很好，是否已经证明 x 导致了 y？
没有 — 还需要物理机制、实验设计等证据；数学相关不是因果证明。
最佳拟合只在选定的曲线家族与误差定义中成立；残差、相关与因果要分开看。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 4 章