Les lectures sont hautes et basses. Comment trouver la tendance qui se cache derrière ?
Rassemblez les enregistrements d’observations dispersés et trouvez une ligne qui s’en rapproche le plus dans son ensemble.
Algorithmes généraux et calcul numérique
Lors d'une prise de vue en continu, la lecture de la position du point lumineux dans le cadre ne peut pas être parfaite à chaque fois. Vous voulez savoir comment il évolue globalement, plutôt que de vous laisser guider par un seul biais de lecture. Examinez d’abord les enregistrements schématiques sept fois, puis comparez les ajustements des lignes droites et des courbes.
Devinez d'abord
Lors de l’enregistrement des erreurs, une bonne courbe ajustée doit-elle passer par chaque point ?
Afficher la réponse et les explications
Pas besoin — Les moindres carrés cherchent à minimiser la somme des carrés des résidus globaux et n'exigent pas que chaque valeur mesurée tombe exactement sur la courbe.
Ensuite, connectez l'expérience et la science
Sélectionnez d'abord un type de courbe
Le même lot d'enregistrements peut contenir à la fois des lignes droites et des lignes courbes. Choisir la famille de courbes en premier aura le sens de « meilleur ».
y = Σ cⱼ fⱼ(x)
Mesurez chaque différence verticale
Chaque point est à la même position x, une différence verticale par rapport à la courbe. Ces différences peuvent être positives ou négatives, et leur addition directe s’annulera.
Erreur résiduelle eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
Minimiser la somme des carrés
Additionnez les carrés de chaque différence. Le programme trouve les coefficients qui le minimisent sans que la courbe doive passer par chaque point.
SSE = Σeᵢ² → minimum
Un bon ajustement ne signifie pas prouver la raison
Le coefficient de corrélation mesure uniquement une relation linéaire. Des courbes claires peuvent apparaître lorsque r est proche de zéro ; ni l’ajustement ni la corrélation ne peuvent automatiquement prouver la cause et l’effet.
r = Sxy / √(Sxx Syy)
Développer le calcul
ŷᵢ = Σⱼ cⱼ fⱼ(xᵢ) SSE = Σᵢ(yᵢ − ŷᵢ)² Σⱼ[Σᵢ fₖ(xᵢ)fⱼ(xᵢ)]cⱼ = Σᵢ fₖ(xᵢ)yᵢ r = Sxy/√(Sxx Syy)
L'équation normale écrit une ligne pour chaque fonction de base k et calcule les coefficients simultanément. Sxx et Syy sont la somme des carrés avec suppression moyenne, et Sxy est la somme des produits avec suppression moyenne ; r n'est pas défini lorsqu'une somme de carrés est nulle.
essaie-le
Comparez d'abord la ligne droite et la courbe quadratique entre le même ensemble d'enregistrements ; puis décalez une lecture. Passez à la "courbe r=0" pour voir si l'absence de corrélation linéaire équivaut réellement à l'absence de modèle.
Pas besoin de mémoriser les symboles
- x / y
- L'abscisse est considérée comme précise et l'ordonnée contient des erreurs de mesure.
- eᵢ
- Le résidu vertical du i-ème point à la courbe
- SSE
- somme résiduelle des carrés
- r
- Coefficient de corrélation linéaire de Pearson ; non défini pour les données constantes
- cⱼ / fⱼ
- Coefficients indéterminés/fonctions de base présélectionnées
Algorithme, précision et champ d'application
Chapitre 4 du livre original, pages imprimées 35-46, formules clés (4.2), (4.3), (4.5) – (4.8). Les enregistrements schématiques ordinaires sont des coordonnées de pixels artificiellement construites, et non de véritables mesures de mouvements célestes. L'expérience 0/1 a utilisé les mêmes sept points ; L'expérience 2 a utilisé le contre-exemple parabolique de la page imprimée 40 ; L'expérience 3 a utilisé les 20 données décimales à quatre chiffres de l'exemple 4.c ; L'expérience 4 a utilisé les six points de l'exemple 4.d. Tous les modèles supposent des x précis, des moindres carrés verticaux non pondérés sur y, et ne gèrent pas les erreurs de x ni les ajustements pondérés/robustes. Les unités de x pour le modèle à trois sinus sont les degrés. L'utilisation de QR pour résoudre des coefficients linéaires a le même objectif que les équations normales du livre, évitant l'inversion directe ; il ne s’agit pas d’interpréter la corrélation comme une cause et un effet. AA+ ne fournit pas de modules dédiés correspondants, c'est pourquoi les exemples de livres originaux et les contrôles d'optimalité indépendants sont utilisés. L’intégralité de l’analyse des données historiques sur les comètes et les taches solaires ne sera pas reproduite ici, et les positions célestes futures ne seront pas non plus prédites.
vérification de ma compréhension
Pourquoi ajouter les carrés des résidus ?
Évitez que les erreurs positives et négatives s’annulent — La somme directe des résidus positifs et négatifs peut être nulle, mais cela ne signifie pas que l’écart est faible.
Le coefficient de corrélation linéaire r = 0, peut-on dire qu'il n'y a aucun modèle ?
ne peut pas — La corrélation linéaire des sept points du livre est nulle, mais ils tombent exactement sur une parabole.
L'ajustement est excellent, a-t-il été prouvé que x provoque y ?
Non — Des preuves telles que le mécanisme physique et la conception expérimentale sont également nécessaires ; la corrélation mathématique n’est pas une preuve causale.
Le meilleur ajustement n'est vrai que pour la famille de courbes et la définition d'erreur sélectionnées ; les résidus, la corrélation et la causalité doivent être examinés séparément.
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · Non. 4 chapitre
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