판독값은 높고 낮습니다. 그 뒤에 숨은 추세를 찾는 방법은 무엇입니까?
흩어져 있는 관측 기록을 모아서 전체적으로 가장 가까운 선을 찾아보세요.
연속 촬영 시 프레임 내 광점의 위치 판독이 매번 완벽할 수는 없습니다. 단일 읽기 편향에 따르기보다는 전체적으로 어떻게 움직이는지 알고 싶습니다. 먼저 회로도 기록을 7번 살펴본 다음 직선과 곡선의 적합성을 비교합니다.
먼저 추측해 보세요
오류를 기록할 때 좋은 적합 곡선은 모든 점을 통과해야 합니까?
정답과 설명 보기
필요 없음 — 최소 제곱은 전체 잔차의 제곱합을 최소화하려고 하며 측정된 각 값이 정확하게 곡선에 속할 것을 요구하지 않습니다.
그렇다면 경험과 과학을 연결하세요
먼저 곡선 유형을 선택하세요.
동일한 레코드 배치는 직선과 곡선 모두에 맞을 수 있습니다. 곡선군을 먼저 선택하는 것은 "최고"라는 의미를 갖습니다.
y = Σ cⱼ fⱼ(x)
각 수직 차이를 측정
각 점은 동일한 x 위치(곡선과의 수직 차이)에 있습니다. 이러한 차이는 긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있으며 직접 추가하면 서로 상쇄됩니다.
잔여 오차 eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
제곱합을 최소화하세요.
각 차이의 제곱을 더하세요. 프로그램은 곡선이 모든 점을 통과하지 않고도 이를 최소화하는 계수를 찾습니다.
SSE = Σeᵢ² → 최소
잘 맞는다는 것은 그 이유를 증명하는 것을 의미하지 않습니다.
상관 계수는 선형 관계만 측정합니다. r이 0에 가까울 때 명확한 곡선 패턴이 있을 수 있습니다. 적합도 상관관계도 원인과 결과를 자동으로 증명할 수 없습니다.
r = Sxy / √(Sxx Syy)
계산 과정 펼치기
ŷᵢ = Σⱼ cⱼ fⱼ(xᵢ) SSE = Σᵢ(yᵢ − ŷᵢ)² Σⱼ[Σᵢ fₖ(xᵢ)fⱼ(xᵢ)]cⱼ = Σᵢ fₖ(xᵢ)yᵢ r = Sxy/√(Sxx Syy)
정규 방정식은 각 기본 함수 k에 대해 한 줄을 작성하고 동시에 계수를 계산합니다. Sxx와 Syy는 평균 제거된 제곱합이고, Sxy는 평균 제거된 곱의 합입니다. 제곱합이 0인 경우 r은 정의되지 않습니다.
한번 시도해 보세요
먼저 동일한 레코드 세트 간의 직선과 이차 곡선을 비교하십시오. 그런 다음 판독값을 상쇄합니다. 선형 상관관계가 없는 것이 실제로 패턴이 없는 것과 같은지 확인하려면 "r=0 곡선"을 잘라보세요.
한번보세요 →
기호를 외울 필요가 없습니다
- x / y
- 가로좌표는 정확한 것으로 간주되며 세로좌표에는 측정 오류가 포함되어 있습니다.
- eᵢ
- i번째 점에서 곡선까지의 수직 잔차
- SSE
- 잔차 제곱합
- r
- 피어슨 선형 상관 계수; 상수 데이터의 경우 정의되지 않음
- cⱼ / fⱼ
- 미결정 계수/미리 선택된 기저 함수
알고리즘, 정확성 및 적용 범위
원본 책 4장, 인쇄된 페이지 35~46, 주요 공식 (4.2), (4.3), (4.5)~(4.8). 일반적인 도식 기록은 실제 천체 움직임 측정이 아닌 인위적으로 구성된 픽셀 좌표입니다. 실험 0/1에서는 동일한 7개 포인트를 사용했습니다. 실험 2에서는 인쇄된 페이지 40의 포물선형 반례를 사용했습니다. 실험 3에서는 실시예 4.c의 20개의 4자리 십진수 데이터를 사용했습니다. 실험 4에서는 실시예 4.d의 6개 지점을 사용했습니다. 모든 모델은 정확한 x, y에 대한 비가중 수직 최소 제곱을 가정하고 x 오류 또는 가중/강력한 맞춤을 처리하지 않습니다. 3사인 모델의 x 단위는 각도입니다. 선형 계수를 풀기 위해 QR을 사용하는 것은 책의 정규 방정식과 동일한 목표를 가지며 직접적인 반전을 피합니다. 상관관계를 원인과 결과로 해석하는 것이 아닙니다. AA+는 해당 전용 모듈을 제공하지 않으므로 원본 도서 예제와 독립적인 최적성 검사가 사용됩니다. 전체 역사적 혜성/태양 흑점 데이터 분석은 여기에 재현되지 않으며 미래의 천체 위치도 예측되지 않습니다.
내 이해 확인
잔차 제곱을 추가하는 이유는 무엇입니까?
서로 상쇄되는 긍정적인 오류와 부정적인 오류를 피하세요. — 양수 잔차와 음수 잔차의 직접 합은 0일 수 있지만 편차가 작다는 의미는 아닙니다.
선형 상관 계수 r = 0, 패턴이 전혀 없다고 말할 수 있습니까?
할 수 없다 — 책에 나오는 일곱 점의 선형 상관관계는 0이지만 정확히 포물선 위에 있습니다.
핏이 아주 좋습니다. x가 y를 유발한다는 것이 입증되었나요?
아니요 — 물리적 메커니즘, 실험 설계 등의 증거도 필요합니다. 수학적 상관관계는 인과관계 증명이 아닙니다.
가장 잘 맞는 것은 선택한 곡선군과 오류 정의에 대해서만 적용됩니다. 잔차, 상관관계, 인과관계는 별도로 살펴봐야 합니다.
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 아니요. 4 장