看起來挨著的兩顆星，真的是鄰居嗎？
先用你的兩條視線量一量：從一顆星看向另一顆，需要轉太多大的角？
夜空中，兩顆星好像挨在一起；也有兩顆星，需要把視線轉很大一段才能輪流看見。天文學用「角距離」來描述這種視覺上的分開程度。它不告訴我們兩顆星在宇宙裡究竟相距多少。
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先猜一下
兩顆星在夜空中看起來挨得很近，就能確定它們在宇宙裡也是鄰居嗎？
查看答案與解釋
不能確定 — 眼前只看到了兩個方向；一顆可能近一些，另一顆可能在很遠的後方。
再把體驗和科學連結起來
先畫出兩條視線
天球上的點代表方向，不代表實際距離。兩顆星可能相距很多光年。
角距離 = 兩條視線的夾角
比較赤經差
在天球赤道上，經度差就等於沿著赤道的短弧角距。
當 δ = 0°，d = Δα（本課範圍內）
向天極靠近
拖動赤緯，兩個點逐漸靠攏。即使赤經仍差 90°，夾角也會縮小。
經線在天極會聚
以單位向量計算
兩條單位視線的點積給出夾角餘弦。實現採用 atan2 形式，兼顧很小和接近 180° 的角距。
cos d = sin δ₁ sin δ₂ + cos δ₁ cos δ₂ cos Δα
把計算鏈展開
Δα = α₂ − α₁ x = cos δ₂ sin Δα y = cos δ₁ sin δ₂ − sin δ₁ cos δ₂ cos Δα z = sin δ₁ sin δ₂ + cos δ₁ cos δ₂ cos Δα d = atan2(√(x²+y²), z)
這是計算採用的穩定寫法。與餘弦公式描述同一夾角，但在很近或很遠的方向間更適合數值計算。
試一試
先選“張開兩條視線”，再選“移近天極”。星圖的兩條經線仍相差 90°，但你實際上需要轉動的視線已經變小。
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符號不用背
- α
- 赤經；界面統一以度表示，1 小時 = 15°
- δ
- 赤緯
- d
- 兩條視線之間的較小夾角，0° 至 180°
演算法、精確度與適用範圍
公式來自第 17 章；計算使用向量的 atan2 等價形式。示意圖為天球正交投影，螢幕上的直線長度不是角落距離。 AA+ 的赤經輸入使用小時，本項目介面用度。書例 17.a 的大角與角宿一用於校驗。 情境說明：左圖把兩條視線所在平面轉正，準確畫出夾角，但不表示當地地平線或天體距離。右圖是從北天極方向看的天球正交投影：中心為北天極，外圈為天赤道；螢幕間距不是角距離。兩顆星是可調的假想方向，不是某個時刻可直接觀測到的真實星表。
我的理解檢查
角距離在量什麼？
從一視線轉向另一條的夾角 — 它描述方向之間張開多少，不直接描述兩顆星之間的長度。
沿著兩條固定星圖經線，把兩個方向一起移近同一個天極，會怎麼樣？
視線夾角變小 — 經線會在天極會合，因此實際方向也會越來越接近。
右圖兩點的螢幕間距，能直接拿尺子當作天空角距離嗎？
不能 — 右圖是投影，螢幕長度不是角度。讀左圖的視線夾角，或用公式計算。
角距離量的是你需要把視線轉多少；星圖座標差、螢幕間距和宇宙裡的實際距離，是三件不同的事。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 17 章