星曆表只記幾次，怎麼找出「最近」和「剛好過零」的時刻？
除了補一個中間值，插值還能尋找局部極小值或過零點；前提是資料真的在附近。
表格裡太陽到火星的距離先變小、再變大，最小值可能藏在兩行之間。另一張表裡水星緯度一負一正，它也在兩次記錄之間穿過了零。我們用書中的三點或五點，把這些時刻找出來。
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先猜一下
看到一段曲線在下降，就能把它外推很遠來決定最低點嗎？
查看答案與解釋
不能，最低點應有附近數據支持 — 局部插值多項式在遠處可能與真實函數完全不同。
再把體驗和科學連結起來
先把單位和中心選對
表中角度已化成角秒，時刻偏移除以表格間隔才是n。中心應靠近要查詢的事件。
n=(查詢時刻−中心時刻)/表格間隔
三點與五點用到的資訊不同
三點描述二次彎曲；第三差分不能忽略時，五點會保留更高階變化。不是簡單把五個點平均。
三點二次 / 五點四次差分多項式
過零點與極值是兩個不同條件
水星緯度過零求y=0；火星距離最小求導數y′=0。找到時刻後也要計算該時刻的函數值。
零點 y(n)=0；極值 y′(n)=0
只信附近，不把外推當預測
求出來的n如果遠離中心，書中公式可能會給出荒謬結果。本課程拒絕這種事件輸出，提示換中心或數據。
局部求根後再檢查範圍和殘差
把計算鏈展開
a = y₂−y₁；b = y₃−y₂；c = b−a y(n) = y₂ + n(a+b+nc)/2 y′(n) = (a+b)/2 + nc 零点：y(n)=0；极值：y′(n)=0
以上展開三點分支，五點分支採用四次多項式。導數針對無量綱n；求根後還需檢查範圍，c=0時不直接除以c求極值。
試一試
先看月球表的三點與五點差別，再切到水星過零點和火星最近距離。不能從遙遠的一小段數據可靠外推極值。
動手看一遍 →
符號不用背
- n
- 距中心時刻的偏移，除以採樣間隔
- a,b,c / A…K
- 逐階差分
- y(n)
- 三點二次或五點四次內插多項式
- y′(n)=0 / y(n)=0
- 極值條件 / 過零條件
演算法、精確度與適用範圍
補齊第3章3.3–3.11。三點與五點差分展開為同一多項式；零點以原式3.7/3.11等價Newton修正，極值對導數求零；另保留3.6/3.10式固定迭代的數學入口作比較。不把沒有找到局部根當零，不接受離中心超過一個間隔的外推根。介面查詢限制|n|≤0.5，事件搜尋檢查|n|≤1。月球地平視差採例3.e；水星五點過零採用印刷頁30練習；火星極值採用3.b；第四表為明確標示的自編四次函數。結果時間沿用各表註明的TD或UT，不作相互換算。所有數據預先轉同一單位；另有原書赤經跨24h與太陽經度跨0°數據，採用最短連續差展開後插值，不把359°到0°當成倒走359°。五點不是任意情況下都比較準確。原書的遠處正弦極值反例說明了外推風險，未將不可靠外推作為預報功能。
我的理解檢查
找函數的零點，與尋找最小值，條件相同嗎？
不同 — 零點要求y=0，極值要求導數為零。
n=0.25總等於6小時嗎？
不是，要看表格間隔 — 只有採樣間隔為一天時，0.25個間隔才是6小時。
只給三筆記錄，能直接當成五點法嗎？
不能 — 五點法需要五個等間隔值，程式不能自己捏造另外兩個。
先選事件附近的表格，再分別求值、求零或求極值；最後檢查單位、範圍和殘差。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 3 章