记录时间不整齐，还能补出中间的数据吗？
不用把记录强行搬到整点上，让每条真实的输入位置都参加计算。
有时你并不是每隔同样时间记录一次，表格的横坐标也可能没有排序。先把它们照原样放进图里，再用Lagrange插值；如果恰好是四条等间隔数据的中点，还有一个简单的专用公式。
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先猜一下
Lagrange插值要求记录一定等间隔吗？
查看答案与解释
不要求，但横坐标不能重复 — 它直接使用每条记录自己的横坐标，允许不等间隔和乱序。
再把体验和科学连起来
每条记录保留自己的横坐标
点与点的间隔不同，不是错误；也无需先把输入列表排好。
先读成不同的 xᵢ 与对应 yᵢ
为每一个点构造一份贡献
每个基函数在自己的点等于1，在其他已知点等于0；加权相加后通过全部已知点。
y(x)=Σ yᵢ∏(x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ)
等间隔的中点可以简化
四点等间隔时，两个中间值权重9，外侧值权重−1，再除以16。不是普通平均数。
y中 = [9(y₂+y₃)−y₁−y₄]/16
重复横坐标要先处理
同一个x不能在分母里减出0。若观测在同一时刻给出不同读数，需要先决定如何处理误差，不能硬套插值。
所有 xᵢ 必须互不相同
对每个i，乘积遍历所有j≠i，再把各个yᵢ加权项相加。所有xᵢ须互异且单位相同；四点中点公式只适用于其特定等间隔条件，不能用于任意散点。
试一试
不等距正弦的30°对应约43.097%的位置；月球表的50%正好是11h TD，可比较一般插值与半间隔公式。
动手看一遍 →
符号不用背
- xᵢ / yᵢ
- 各条已知输入与输出
- Lᵢ(x)
- Lagrange基多项式
- y(x)
- 通过全部给定点的插值多项式
算法、精度与适用范围
补第3章3.12、3.13：四个等间隔样本的中点权重为(-1,9,9,-1)/16；不等距Lagrange逐项乘积法允许输入乱序，x值必须互不相同。正弦表来自印刷页34的六点练习，查询30°约为0.5；月球赤经来自例3.f，y单位为相对10小时的秒时，查询11h得到1540.0014375s（书中舍入为1540.001s）。界面只在已给数据范围查询，不把高阶多项式外推当可靠预测；原书3.g三次多项式另用于独立验证。未提供任意用户表格输入，核心纯函数可接收不等间隔数据并拒绝重复x。
我的理解检查
输入列表没按x排序，Lagrange结果一定错吗？
不会仅因乱序而错 — 插值权重由各点实际坐标计算，与输入顺序无关。
两个点有相同x，却不同y，可以直接套公式吗？
不可以 — 分母会为零，应先解决重复横坐标的观测含义。
通过所有样本，就保证远处外推也准吗？
不保证 — 高阶插值多项式不自动提供远处的真实物理规律。
保留每条记录真正的位置；不等距可以插值，但重复x和远距离外推都需要额外处理。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 3 章