録音時間がきちんとしていない場合、途中のデータを埋めても大丈夫ですか？
すべての実際の入力位置を計算に含めることができるように、レコードを強制的に時間に移動する必要はありません。
同時に記録しない場合、表の横軸がソートされない場合があります。まずそれらをそのままグラフに入れてから、ラグランジュ補間を使用します。それが等間隔に配置された 4 つのデータの中点である場合には、単純な特別な式があります。
まずは推測してください
ラグランジュ補間では、一定の等間隔でレコードを記録する必要がありますか?
答えと解説を見る
必須ではありませんが、横軸を繰り返すことはできません — 各レコード独自の横座標を直接使用するため、不等間隔や無秩序が許容されます。
そして経験と科学を結びつける
各レコードは独自の横軸を保持します
点間の間隔が異なりますが、これはエラーではありません。最初に入力リストをソートする必要はありません。
まず、それを異なる xᵢ と対応する yᵢ として読みます。
各ポイントの貢献度を構築する
各基底関数は、それ自体の点では 1 に等しく、他の既知の点では 0 に等しくなります。加重加算後、すべての既知の点を通過します。
y(x)=Σ yᵢ∏(x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ)
等間隔の中点は簡略化できます
4 つの点が等間隔にある場合、中央の 2 つの値の重みは 9 で、外側の値の重みは 16 で割った -1 になります。共通の平均ではありません。
y中 = [9(y₂+y₃)−y1−y4]/16
繰り返される横座標は最初に処理する必要があります
分母の0から同じxを引くことはできません。観測値が同時に異なる読み取り値を示した場合、最初に誤差に対処する方法を決定する必要があり、内挿を厳密に適用することはできません。
すべての xᵢ は互いに異なっていなければなりません
各 i について、すべての j≠i にわたって積が計算され、個々の yᵢ 重み付き項が加算されます。すべての xᵢ は互いに異なり、同じ単位を持たなければなりません。 4 点の中点公式は、特定の等間隔条件にのみ適用でき、散乱点には使用できません。
試してみてください
不等サインの 30°は位置の約 43.097% に相当します。月面の 50% は正確に 11 時間 TD であり、これは一般的な補間式と半間隔式と比較できます。
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記号を覚える必要はありません
- xᵢ / yᵢ
- 既知の各入力と出力
- Lᵢ(x)
- ラグランジュ基底多項式
- y(x)
- 与えられたすべての点を通る内挿多項式
アルゴリズム、精度、適用範囲
補足第 3 章 3.12 および 3.13: 4 つの等間隔のサンプルの中点の重みは (-1,9,9,-1)/16 です。不等ラグランジュ項目ごとの積法では、入力の順序が狂うことが可能であり、x 値は互いに異なっている必要があります。正弦表は、印刷ページ 34 の 6 点の演習から取得したものです。30° のクエリは約 0.5 です。月の赤経は例 3.f からのものです。 y 単位が 10 時間に対する秒である場合、11 時間のクエリは 1540.0014375 秒を生成します (本書では 1540.001 秒に四捨五入されています)。このインターフェイスは、指定されたデータ範囲内でのみクエリを実行し、高次多項式を信頼できる予測として外挿しません。オリジナルの本の 3.g にある 3 次多項式も独立した検証に使用されます。ユーザーフォーム入力は提供されず、コアの純粋関数は不等間隔のデータを受け入れ、重複する x を拒否します。
私の理解度チェック
入力リストが x でソートされていない場合、ラグランジュの結果は必ずしも間違っているのでしょうか?
乱れているからといって間違いはない — 補間の重みは、入力順序に関係なく、各点の実際の座標から計算されます。
2 つの点の x は同じですが、y が異なります。公式を直接適用できますか?
できない — 分母はゼロになるため、横軸の繰り返しによる観測上の意味を最初に解決する必要があります。
すべてのサンプルを渡すと、遠隔外挿が正確であることが保証されますか?
保証なし — 高次の補間多項式は、離れた場所での真の物理法則を自動的に提供しません。
各レコードの実際の位置は保持されます。不等間隔も内挿できますが、x および長距離の外挿を繰り返す場合は追加の処理が必要です。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · いいえ。 3 章