金星亮面更大時，就一定更亮嗎？
看見多少亮面，和看起來有多亮，是兩個不同的問題。
一盞燈離你近時更亮，遠了就暗。行星還多了一個因素：太陽照亮的那一面，有多少朝著地球？把距離和相位一起考慮，才能理解為什麼「更圓」不一定「比較亮」。
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先猜一下
看到的亮面比例更大，就能保證這顆行星看起來更亮嗎？
查看答案與解釋
不能，還要看距離等因素 — 照明比例只說明圓盤面積，亮度也受日心/地心距離、反射特性等影響。
再把體驗和科學連結起來
先看哪一半朝向太陽
太陽照亮行星的一半，但從地球不一定看得見整塊受光面。 i是從行星看太陽和地球兩方向之間的角。
cos i = (r²+Δ²−R²)/(2rΔ)
把角度變成圓盤比例
看到的亮區比例由相位角給出。它只描述圓盤上明亮部分的面積比例。
k = (1+cos i)/2
亮度也取決於兩段距離
行星離太陽遠，接到的陽光少；離地球遠，看起來也更暗。經驗星等式把距離與相位一起考慮。
m = 常數 + 5log₁₀(rΔ) + 相位項
別把經驗公式的小數當真相
不同公式會給予略不同的預測。土星也要考慮環的張開程度；真實表面與大氣變化也能改變亮度。
星等越小越亮；按0.1等報告
r是日心距離，Δ是地心距離，R是日地距離，三者用相同單位。先由餘弦定理求相位角i，再求照明比例k；視星等也必須選各行星自己的相位多項式。
試一試
先移動金星，比較照明比例與星等的變化。星等數字越小越亮，注意距離也在改變。再比較兩個經驗公式的差異。
動手看一遍 →
符號不用背
- r / Δ / R
- 日心行星距離 / 地心行星距離 / 日地距離，皆為AU
- i
- 相位角，頂點在行星
- k
- 可見圓盤照明比例
- m
- 視星等，越小越亮
- B / ΔU
- 土星環的觀測幾何參數，源自第45章
演算法、精確度與適用範圍
實現第41章41.1/41.2的日行地三角形相位角與照明比例、金星快速近似、Muller與Astronomical Almanac兩組八行星經驗星等公式（Muller原表沒有冥王星，返回未提供）。土星包含|ΔU|、環張角B項，但不從日期求環幾何，不含環暗面等未建模效應。主交互是地球R=1AU、各行星固定日心半徑的假想圓軌道，不是實際日期星曆；由三角形嚴格計算Δ/i/k，避免獨立調三個不可能組成三角形的距離。原書金星41.a/c涵蓋真實給定r=.724604、R=.983824、Δ=.910947。星等只報0.1等，提醒經驗擬合受雲層、表面、塵暴與極薄相位等影響；不把亮面比例當成亮度。 41.3/41.4的日心或直角輸入等價路徑已作為純函數並核驗，未另設獨立界面，月面亮緣位置角留給第48章。
我的理解檢查
視星等−4和−2，哪一個比較亮？
−4 — 星等數值越小，亮度越高。
相位角的頂點在哪裡？
行星中心 — 它是太陽—行星—地球的夾角。
Muller土星式需要環張角，是因為？
環會影響觀測亮度 — 環向我們張開的程度會影響反射光貢獻，但簡式仍有未考慮的情況。
亮面比例回答“看見多少亮面”，視星等回答“看起來多亮”；相位、距離和反射特性要一起看。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 41 章