金星亮面更大时，就一定更亮吗？
看见多少亮面，和看起来有多亮，是两个不同的问题。
一盏灯离你近时更亮，远了就暗。行星还多了一个因素：太阳照亮的那一面，有多少朝着地球？把距离和相位一起考虑，才能理解为什么“更圆”不一定“更亮”。
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先猜一下
看到的亮面比例更大，就能保证这颗行星看起来更亮吗？
查看答案与解释
不能，还要看距离等因素 — 照明比例只说明圆盘面积，亮度还受日心/地心距离、反射特性等影响。
再把体验和科学连起来
先看哪一半朝向太阳
太阳照亮行星的一半，但从地球不一定看得见整块受光面。i是从行星看太阳和地球两方向之间的角。
cos i = (r²+Δ²−R²)/(2rΔ)
把角度变成圆盘比例
看到的亮区比例由相位角给出。它只描述圆盘上明亮部分的面积比例。
k = (1+cos i)/2
亮度还取决于两段距离
行星离太阳远，接到的阳光少；离地球远，看起来也更暗。经验星等式把距离与相位一起考虑。
m = 常数 + 5log₁₀(rΔ) + 相位项
别把经验公式的小数当真相
不同公式会给出略不同的预测。土星还要考虑环的张开程度；真实表面与大气变化也能改变亮度。
星等越小越亮；按0.1等报告
r是日心距离，Δ是地心距离，R是日地距离，三者用相同单位。先由余弦定理求相位角i，再求照明比例k；视星等还必须选各行星自己的相位多项式。
试一试
先移动金星，比较照明比例与星等的变化。星等数字越小越亮，注意距离也在改变。再比较两个经验公式的差异。
动手看一遍 →
符号不用背
- r / Δ / R
- 日心行星距离 / 地心行星距离 / 日地距离，均为AU
- i
- 相位角，顶点在行星
- k
- 可见圆盘照明比例
- m
- 视星等，越小越亮
- B / ΔU
- 土星环的观测几何参数，来源于第45章
算法、精度与适用范围
实现第41章41.1/41.2的日行地三角形相位角与照明比例、金星快速近似、Muller与Astronomical Almanac两组八行星经验星等公式（Muller原表没有冥王星，返回未提供）。土星包含|ΔU|、环张角B项，但不从日期求环几何，不包含环暗面等未建模效应。主交互是地球R=1AU、各行星固定日心半径的假想圆轨道，不是实际日期星历；由三角形严格计算Δ/i/k，避免独立调三个不可能组成三角形的距离。原书金星41.a/c覆盖真实给定r=.724604、R=.983824、Δ=.910947。星等只报0.1等，提醒经验拟合受云层、表面、尘暴与极薄相位等影响；不把亮面比例当成亮度。41.3/41.4的日心或直角输入等价路径已作为纯函数并核验，未另设独立界面，月面亮缘位置角留给第48章。
我的理解检查
视星等−4和−2，哪一个更亮？
−4 — 星等数值越小，亮度越高。
相位角的顶点在哪里？
行星中心 — 它是太阳—行星—地球的夹角。
Muller土星式需要环张角，是因为？
环会影响观测亮度 — 环向我们张开的程度影响反射光贡献，但简式仍有未考虑的情况。
亮面比例回答“看见多少亮面”，视星等回答“看起来多亮”；相位、距离和反射特性要一起看。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 41 章