在稍扁的地球模型上，「垂直腳下」一定穿過地心嗎？
先站在一個光滑的參考橢球上，把垂直表面的方向與地心連線放在一起比較。
如果你站在完美的球面上，垂直腳下表面的線會穿過球心。但天文計算裡的地球模型，赤道略鼓、兩極略扁。這時「垂直模型表面」與「連向地心」會有一點差別，於是也有了兩種緯度。
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先猜一下
在這個稍扁的參考橢球上，垂直表面的線一定會經過中心嗎？
查看答案與解釋
不一定 — 完美球面的法線都經過中心；橢球通常不滿足，赤道和兩極是對稱的特殊位置。
再把體驗和科學連結起來
先用橢球描述地球
圖畫地理緯度與地心緯度的差異曲線，避免把地球的扁率誇張後誤當成真實比例。
赤道半徑 a = 6378.14 km
區分兩種緯度
地理緯度對應參考橢球的法線；地心緯度對應從地心連向你的方向。兩者不是同一條線。
φ：地理緯度；φ′：地心緯度
沿著法線向上站高一點
海拔改變觀察者的地心座標，地心緯度也會輕微變化。把高度從 0 調到 5000 公尺觀察結果。
地心座標 = 橢球表面位置 + 高度方向分量
看看哪裡相同，哪裡不同
在赤道和兩極，兩種緯度相同；中緯度的差異更明顯。不要把差值誤認為儀器測錯。
海平面：tan φ′ = (b/a)² tan φ
把計算鏈展開
b/a = 0.99664719 u = atan((b/a) tan φ) ρ sin φ′ = (b/a) sin u + (h/6378140) sin φ ρ cos φ′ = cos u + (h/6378140) cos φ φ′ = atan2(ρ sin φ′, ρ cos φ′)
h用米；ρ是以地球赤道半徑為單位的地心距離。輔助角u不是地心緯度；先求兩個分量，再用atan2恢復φ′。
試一試
先比較“赤道”和“中緯度”。左圖保留原扁率，所以兩條線幾乎重疊；右圖把微小角差放大，專門幫你看清方向差異。
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符號不用背
- φ / φ′
- 地理緯度 / 地心緯度
- a / b
- 參考橢球的赤道半徑 / 極半徑
- ρ
- 地心距離，以赤道半徑為單位
- H
- 高於參考橢球的高度，單位：米
演算法、精確度與適用範圍
依第 11 章及本地 AA+ 常數 a=6378.14 km、b/a=0.99664719。高度沿著參考橢球法線增加；不加入局部鉛垂線偏差和大地水準面起伏。模型不是對真實地形的重建，也不聲稱替代現代測地參考系。以 AA+ RhoSinThetaPrime、RhoCosThetaPrime 做網格對照。 情境說明：沿用原書與 Astro.globe 的參考橢球常數。左側子午截面使用原長短軸比例；右側僅將方向角差放大 120 倍。參考橢球法線不等於真實地形的法線，也不等於由重力決定的當地鉛垂線；本課程不計算重力異常、地形和大地水準面。
我的理解檢查
藍線在這個實驗裡代表什麼？
參考橢球的表面法線 — 它來自光滑參考橢球的幾何關係；真實鉛垂線也與當地重力場有關。
在哪些位置，兩種緯度會相同？
赤道與兩極 — 這些位置的對稱性使表面法線與地心連線重疊。
右圖兩條線分得很開，能說明真實地球也這麼扁嗎？
不能，右圖放大了角差 — 左圖才保留原模型比例；右圖單獨把方向角差放大 120 倍，實際角差要讀數字。
地理緯度看參考橢球的法線，地心緯度看地心連線；同一個位置，可以用兩種不同的方向角來描述。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 11 章