兩顆行星擦肩而過，怎麼找到真正最近的一刻？
別把每天的距離直接連成一條拋物線；先找每一刻各自在哪裡。
拍到兩顆行星一天比一天近，又一天比一天遠，最近的一刻可能落在兩次記錄之間。原書的水星—土星例子說明：看似合理的“直接插值距離”，會把真正的小間隔算大近八倍。
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先猜一下
先算每日角距，再把這些角距插值，必然跟先插值座標一樣準確嗎？
查看答案與解釋
不一定，近距離掠過尤其容易錯 — 角距是座標的非線性函數，近距掠過時不能用很寬間隔的低階多項式取代其轉折。
再把體驗和科學連結起來
先保留天體座標，而不是只記距離
原書給出1978年9月12–16日水星與土星的五日赤經赤緯。兩天體需要使用同一時間尺度和參考系統。
先插值δ₁、δ₂與赤經差
接近掠過時，距離曲線不是大拋物線
兩點先靠近再分開，距離變化在很窄範圍轉彎。直接把每天的距離值擬合成多項式會錯過真正的小間隔。
錯誤示範：直接插值角距離
分別求兩種正確方法的最小值
五點座標插值後再求球面角距；或三點局部u/v插值，迭代使距離的變化率趨近零。
Δn=−(uu′+vv′)/(u′²+v′²)
連同方向和精度一起報告
最小時間、最小角距、位置角是不同的量。三點與五點的近似會有小差異，不能用多顯示小數偽裝精度。
位置角從第一天體的天北向東量
u、v表示局部切平面上的相對位置，撇號是對內插參數n求導。先插值座標後求最接近時刻，分母為零時無法直接計算Δn；最終仍要核對角距離。
試一試
先把方法切到“錯誤示範”，看橙色曲線為什麼偏離；再看五點坐標法與三點u/v法，兩者的近似誤差要分清。
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符號不用背
- n
- 相對1978-09-14 0h TD的日偏移
- u / v
- 原書局部相對座標，角秒
- P
- 土星相對水星的位置角，天北向東0–360°
- TD
- 原書動力學時；本課不換當地時區
演算法、精確度與適用範圍
補齊第17章最小距離主演算法：原書五日水星/土星赤經赤緯先作五點Lagrange插值再用atan2球面角距；極值用有界金分搜尋獨立逼近。另完整實現頁113的K/u/v表達式、三點差分導數和Δn迭代，保留三點/五點誤差差異。以同一表的每日角距直接作四次內插作為明確錯誤示範。包括位置角的atan2象限處理、同向/反向的退化保護，及haversine等價驗證。表中座標不混入另一曆元的星表；不同模式的最小值來自不同近似，不能宣稱相同精度。
我的理解檢查
本課要優先插值什麼？
座標 — 然後再從插值座標計算角距。
三點u/v法與五點座標法有一點差異，代表？
採樣與近似方法不同，需要說明精度 — 結果應連同演算法和資料精度說明。
位置角與最小角距離相同嗎？
不同，前者描述相對朝向 — 位置角從基準天體處的天北向東量，角距離描述兩條視線分開多少。
想找出擦肩而過的最近一刻，先計算兩個天體的位置，再計算它們之間的距離。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 17 章