两次称重几乎一样，相减就能知道少了多少吗？
先把两张读数记下来，再看舍入怎样改变那个很小的差。
你想知道一个袋子前后少了多少重量，于是称两次、把数字相减。如果记录时省掉了末尾几位，小变化就可能被抹掉。这里把书中的两个数借作千克读数，只做一个理想数字实验：不模拟真实秤的测量误差。
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先猜一下
两张称重记录都写 6.927 kg，能断定两次重量完全相等吗？
查看答案与解释
不能，末尾可能被舍掉了 — 记录相同只能说明保留的这些位相同；更细小的差异可能被舍入隐藏。
再把体验和科学连起来
先看看原始差值
取书中的两个数。它们都接近 7，可我们想知道的是它们之间约 0.00002 的间隔。
6.9273649 − 6.9273451 = 0.0000198
让输入先经过舍入
拖动保留位数。两个数分别被舍入，末尾丢掉的部分并不相同。
先舍入 a 与 b，再计算 a − b
把差值局部放大
上方是原始差值，下方是舍入后差值。输入看起来只差一点，结果的相对误差却可能很大。
相对误差 = |估计差值 − 原始差值| / 原始差值
显示位数不能找回信息
把 0.00001 写成 0.000010000000，不会恢复已经丢掉的输入。计算中保留精度，展示时再舍入。
更多小数 ≠ 更小误差
把计算链展开
Δ = a − b Δ舍入 = round(a) − round(b) 相对误差 = |Δ舍入 − Δ| / |Δ|
这里的 round 表示按所选有效数字舍入。两数相近时，分别舍入会丢失差值中的信息；Δ=0时不能用此相对误差式。
试一试
先选“只记四位”，再选“记六位”和“保留原数”。袋子的两次原始值一直不变，改变的只是你记下多少位。
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符号不用背
- 有效数字
- 从第一个非零数字起计数，区别于小数位数
- a − b
- 本课关注的差值
- 相对误差
- 误差与原始差值之比，界面用百分数表示
算法、精度与适用范围
重现第 2 章印刷页 16 的十进制舍入例子。原始差值以整数比 198/10000000 表示，避免用同一浮点减法充当真值。滑块模拟十进制有效数字舍入，不模拟某种完整硬件浮点格式。本课没有对应 AA+ 专用函数，数值由整数十进制独立路线核验。图的横轴只画差值，不是原始数值的位置。 情景说明：借用 Meeus 第 2 章原数 6.9273649 与 6.9273451，并赋予 kg 作为教学情境；不是实际称重报告，也不宣称现实秤有这些有效位。这里只模拟十进制记录舍入，未加入仪器噪声或误差。
我的理解检查
把记录从四位改到六位，实验里什么发生了变化？
保留下来的数字 — 两个原始数不变；变化的是我们把它们记录得多细。
6.92736 kg 减去 6.92735 kg，是多少毫克？
10 mg — 差是 0.00001 kg。1 kg = 1,000,000 mg，所以是 10 mg。
一台真实秤显示很多小数，就一定测得同样准确吗？
不一定 — 显示位数不等于测量准确度；仪器校准、噪声和测量条件还会带来误差。本课只演示舍入。
小差值最怕输入先被舍粗了；多写几个零，补不回已经丢掉的信息。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 2 章