給行星連續拍照，為什麼有時隔得遠，有時擠在一起？
每過相同時間拍一張，照片之間的空隙會告訴你它走得快不快。
拍一輛經過的自行車，如果每隔一秒拍一次，它快時，兩張照片的位置就隔得遠。現在用同樣的方法看行星：在相同的時間裡，它沿著軌道走過的路並不總是那麼長。
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先猜一下
每隔相同時間拍一張照片，照片之間隔得越遠，說明？
查看答案與解釋
走得越快 — 相同時間走過的路更長，所以運動更快。
再把體驗和科學連結起來
先畫出軌道和太陽
太陽在橢圓的一個焦點，不在中心。 e 越大，軌道越扁。
e = 焦距 / 半長軸
用一個勻速角代表時間
M 勻速增長，表示自近日點以來經過了多少比例的周期，但不是行星真實角位置。
M = 360° × 已過時間 / 週期
解出輔助角 E
用一次次修正尋找滿足方程式的 E。下面的殘差表顯示誤差如何縮小。
M = E − e sin E（計算時用弧度）
回到真實的軌道位置
從 E 得到橢圓上的點，再從太陽看過去，才得到真實角度 ν。
x/a = cos E − e；y/a = √(1−e²) sin E
把計算鏈展開
M弧度 = M度 × π/180 f(E) = E − e sin E − M E新 = E − f(E)/(1 − e cos E) x/a = cos E − e y/a = √(1−e²) sin E ν = atan2(y/a, x/a)
迭代中的M、E和三角函數採用弧度。最後才把E與ν轉回度；不能把以度計的E直接與e sin E相減。
試一試
先把 e 設為 0，再改為 0.8。保持 M = 60°，看看真實角度發生了多大變化。
動手看一遍 →
符號不用背
- e
- 偏心率，本課程為 0 ≤ e ≤ 0.9
- M
- 平均近點角，隨時間等速增長
- E
- 偏近點角，輔助圓上的角
- ν
- 真近點角，從太陽看行星的方向角
- r/a
- 太陽到行星距離與半長軸之比
演算法、精確度與適用範圍
原書第 30 章給出多種解法；這裡使用牛頓迭代，並用 AA+ 的不同求解路線以及代回方程式的殘差核驗。圖以半長軸歸一化，不對應某顆行星的真實軌道；僅支援橢圓軌道，不處理拋物線或雙曲線。
我的理解檢查
太陽附近的等時間快照比較疏，代表行星怎麼運動？
更快 — 快照間隔相同，位置間距更大表示走得更快。
把軌道改成正圓，快照間距會怎麼樣？
趨於相同 — 圓軌道中的角速度與速率都恆定。
自行車連拍這個類比，能說明行星有引擎嗎？
不能 — 類比只幫助讀懂「距離/時間」的速度意義；行星的運動由引力等物理規律決定。
相同時間拍攝的位置越分散，行星就走得越快。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 30 章