反复“改进答案”，为什么有时越算越离谱？
不是所有重复计算都能靠近答案；同一道题，改写方式和起点都会影响结果。
你反复修改一个猜测，希望误差越来越小。可书里的同一道五次方程，只换一下写法，就可能从稳定收敛变成不停跳动。把它们放在同一张图里，看“迭代”什么时候需要换工具。
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先猜一下
同一个方程只换一种等价改写，迭代会得到完全相同的收敛表现吗？
查看答案与解释
不一定 — 等价方程有相同的根，但更新规则的稳定性可能完全不同。
再把体验和科学连起来
先看“每次怎么改”
同一个方程可以改写成不同的更新规则。每条规则都要检查，而不是看到重复计算就相信它会收敛。
x新 = g(x旧)
看残差，不只看数字像不像
残差f(x)说明候选答案还差多少。收敛、步数用完和数值失控必须分开标注。
残差 |f(x)| 与步长容差
Newton用切线预测下一步
切线与横轴的交点给出新猜测。切线太平或起点不好时，这个预测也可能失败。
x新 = x旧 − f(x旧)/f′(x旧)
二分守住一个有根的区间
已知连续函数两端异号，每次把区间减半。它可能慢些，但每一步的误差界都清楚。
第n步区间宽度 = 原宽度 / 2ⁿ
把计算链展开
xₙ₊₁ = g(xₙ) xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) m = (a+b)/2 二分n轮后的宽度 = (b₀−a₀)/2ⁿ
分别对应固定点、牛顿与二分。牛顿法要求导数可用且不为零；二分需要连续函数的异号括区。步长小还应检查残差。
试一试
先看收敛例，再选发散和来回跳动的改写。Newton遇到坏起点也会失败；二分依靠的是连续且异号的包围区间。
动手看一遍 →
符号不用背
- f(x)
- 希望变成零的函数
- f′(x)
- 切线斜率，Newton法的分母
- [a,b]
- 连续函数异号端点包围的区间
- 容差
- 允许的残差或区间宽度，不用浮点完全相等作唯一停止条件
算法、精度与适用范围
补第5章例5.b–5.d与Newton、二分和浮点停止条件。可比较x⁵+17x−8、x⁵+3x−8、x⁵−3x−8、s³+3s−0.9。固定点形式为(b−xᵖ)/a、实数奇次根(b−ax)^(1/p)、b/(x^(p−1)+a)，同一方程的不同改写可能收敛、发散或形成二周期。Newton使用导数p x^(p−1)+a，导数近零停止；二分在已验证异号的连续多项式区间内工作。演示最多40步，绝对候选值超过1e8即停止并提示，不把截断叫做收敛；容差1e−10。旧硬件浮点尾数震荡只解释其原因，不伪造当前JavaScript引擎必然出现同样序列。曲线窗固定x∈[−3,3]、y∈[−40,40]，窗外值用数字提示。
我的理解检查
两次显示的小数看起来一样，就一定应该停止吗？
还应检查容差与残差 — 显示舍入可能掩盖变化；算法必须有明确停止条件和迭代上限。
二分法只要两端异号就能保证中间有零点吗？
还要求函数在区间内连续 — 跨过tan的垂直渐近线也会异号，却没有那个零点。
Newton的导数接近零时，应该？
停止或改起点/方法 — 分母过小会造成巨大、不可靠的修正。
迭代不是“多算几次就行”。要选合适规则、检查残差，并在失败时明确停下来。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 5 章