Pourquoi devenez-vous parfois de plus en plus scandaleux après avoir « amélioré vos réponses » à plusieurs reprises ?
Tous les calculs répétés ne permettront pas d’obtenir la réponse ; pour la même question, la méthode de réécriture et le point de départ affecteront tous le résultat.
Algorithmes généraux et calcul numérique
Vous révisez votre supposition encore et encore, en espérant que l'erreur deviendra de plus en plus petite. Mais la même équation du cinquième ordre dans le livre peut passer d'une convergence stable à un battement constant simplement en changeant la méthode d'écriture. Mettez-les dans la même image et voyez quand "l'itération" nécessite de changer d'outils.
Devinez d'abord
Si la même équation est réécrite de manière équivalente, les itérations donneront-elles exactement les mêmes performances de convergence ?
Afficher la réponse et les explications
incertain — Les équations équivalentes ont les mêmes racines, mais la stabilité des règles de mise à jour peut être complètement différente.
Ensuite, connectez l'expérience et la science
Voyons d’abord « Comment changer à chaque fois »
La même équation peut être réécrite dans différentes règles de mise à jour. Vérifiez chaque règle au lieu de lui faire confiance pour converger lorsque vous la voyez se répéter.
xnouveau = g(xancien)
Regardez les résidus, pas seulement regardez si les chiffres ressemblent
Le résidu f(x) montre jusqu'où se trouve la réponse du candidat. La convergence, le manque de pas et l'emballement numérique doivent être notés séparément.
Résiduel |f(x)| et tolérance de pas
Newton utilise des tangentes pour prédire la prochaine étape
L'intersection de la tangente et de l'axe horizontal donne une nouvelle hypothèse. Cette prédiction peut également échouer lorsque la ligne tangente est trop plate ou que le point de départ n'est pas bon.
xnouveau = xold − f(xold)/f′(xold)
Deux pointes gardent un intervalle avec des racines
On sait que les deux extrémités de la fonction continue ont des signes différents et que l'intervalle est réduit de moitié à chaque fois. Cela peut être plus lent, mais la limite d’erreur est claire à chaque étape.
largeur d'intervalle du nième pas = largeur d'origine / 2ⁿ
Développer le calcul
xₙ₊₁ = g(xₙ) xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) m = (a+b)/2 二分nroue后的宽Dépenser = (b₀−a₀)/2ⁿ
Correspondant respectivement au point fixe, Newton et bissection. La méthode de Newton nécessite que la dérivée soit disponible et non nulle ; la bissection nécessite des parenthèses anisotropes pour les fonctions continues. Si la taille du pas est petite, les résidus doivent également être vérifiés.
essaie-le
Examinons d'abord l'exemple de convergence, puis choisissons les réécritures de divergence et de saut en arrière. Newton échouera également s’il rencontre un mauvais point de départ ; La bissection repose sur des intervalles de délimitation continus et de signes différents.
Pas besoin de mémoriser les symboles
- f(x)
- fonction qui veut devenir nulle
- f′(x)
- Pente tangente, dénominateur de la méthode de Newton
- [a,b]
- Un intervalle entouré des extrémités d'une fonction continue avec des signes différents
- Tolérance
- Largeur résiduelle ou d'intervalle autorisée, sans égalité exacte en virgule flottante comme seule condition d'arrêt
Algorithme, précision et champ d'application
Complétez le chapitre 5, exemples 5.b à 5.d avec des conditions d'arrêt de Newton, de bissection et de virgule flottante. Comparable à x⁵+17x−8, x⁵+3x−8, x⁵−3x−8, s³+3s−0,9. Les formes à virgule fixe sont (b−xᵖ)/a, racines impaires réelles (b−ax)^(1/p), b/(x^(p−1)+a), et différentes réécritures de la même équation peuvent converger, diverger ou former deux périodes. Newton utilise la dérivée p x^(p−1)+a, et la dérivée s'arrête près de zéro ; la bissection fonctionne dans l'intervalle de polynômes continus avec des signes différents prouvés. La démonstration peut prendre jusqu'à 40 étapes. Si la valeur absolue du candidat dépasse 1e8, il s'arrêtera et affichera une invite. Aucune troncature n’est appelée convergence ; la tolérance est de 1e−10. L'oscillation de la mantisse à virgule flottante de l'ancien matériel n'explique que ses raisons. La même séquence se produira inévitablement dans le moteur JavaScript actuel sans la falsifier. La fenêtre de courbe est fixée à x∈[−3,3], y∈[−40,40] et les valeurs en dehors de la fenêtre sont indiquées par des nombres.
vérification de ma compréhension
Si la décimale affichée deux fois se ressemble, faut-il arrêter ?
Vérifiez également les tolérances et les résidus — Les arrondis explicites peuvent masquer les changements ; l'algorithme doit avoir des conditions d'arrêt et des limites d'itération claires.
La méthode de dichotomie peut-elle garantir qu’il y a un point zéro au milieu tant que les deux extrémités ont des signes différents ?
La fonction doit également être continue dans l'intervalle — L’asymptote verticale sur tan aura également un signe différent, mais il n’y aura pas de point zéro.
Lorsque la dérivée de Newton s'approche de zéro, est-ce que cela devrait être le cas ?
Arrêter ou modifier le point de départ/la méthode — Un dénominateur trop petit peut entraîner des corrections importantes et peu fiables.
L'itération ne consiste pas à « compter simplement quelques fois de plus ». Choisissez les bonnes règles, vérifiez les résidus et arrêtez explicitement en cas d'échec.
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · Non. 5 chapitre
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