Как шаг за шагом превратить длинный сад в квадрат?
Оставьте область неизменной, отрегулируйте две стороны и убедитесь своими глазами, что «чем больше вы угадаете, тем точнее вы будете».
Общие алгоритмы и численные вычисления
У вас есть 159 квадратных метров земли, и вы хотите придать ей квадратную форму. Сначала случайным образом определите одну сторону, а затем рассчитайте другую сторону, используя формулу «площадь ÷ длина стороны». Две стороны не равны? Возьмите среднее значение и попробуйте еще раз.
Угадай сначала
Если вы хотите превратить прямоугольник с фиксированной площадью в квадрат, какими должны быть две последние стороны?
Показать ответ и объяснение
Одинаковая длина — Если две соседние стороны квадрата равны, площадь все равно будет равна тому же числу.
Тогда соедините опыт и науку
Замените неизвестную длину стороны предположением
Синяя точка — это предположение x, серая точка — 159/x. Сумма двух всегда равна 159, что часто не является квадратом.
Длина × Ширина = x × (159/x) = 159
Обе стороны приближаются к середине.
Если один слишком короткий, другой будет слишком длинным. Усредните их в качестве следующего приблизительного значения длины стороны.
xновый = (xold + 159/xold) / 2
Повторяем то же правило
Измените количество исправлений и наблюдайте, как две точки постепенно перекрываются. Различные начальные значения повлияют на необходимое количество шагов, но не изменят положительный квадратный корень этой проблемы.
12 → 12.625 → 12.6095297 → …
Вернуться к исходной проверке проблемы
Не просто смотрите на последние два числа: возведите в квадрат текущую длину стороны и посмотрите, насколько она далека от 159.
Остаток = x² − 159
Развёрнутые вычисления
xₙ₊₁ = (xₙ + N/xₙ)/2 rₙ = xₙ² − N
Н=159; начните с положительных чисел. Сначала вычислите N/x, а затем усредните его по старому x. Остаток близок к нулю, что означает, что квадрат близок к цели, но это не означает, что все цифры точны.
попробуй
Измените начальное значение с 12 на 1 и постепенно увеличивайте количество исправлений. Достигли ли вы желаемой точности за шесть шагов?
Нет необходимости запоминать символы
- x
- Текущее предположение о длине положительной стороны
- 159/x
- Другая сторона прямоугольника гарантированно будет иметь площадь 159
- остаток
- Оставшаяся разница после подстановки ответов кандидата обратно в исходное уравнение
Алгоритм, точность и область применения
Глава 5 Пример 5.a, печатная страница 48. Здесь демонстрируется только итерация положительных квадратных корней, и нельзя сделать вывод, что какая-либо итерация сходится. The initial value is limited to positive, and a maximum of six steps can be displayed. «Количество израсходованных шагов» не называется «достижением точности». Независимая проверка использует двусторонний поиск корня, пошаговые значения книги и остатки; AAKepler компании AA+ — еще одно итеративное приложение, но оно не реализовано в этом примере.
мое понимание, проверка
Изменилась ли территория сада после каждой корректировки?
Нет, все еще 159 — Другая сторона всегда делит первую сторону на 159, поэтому площадь всегда остается.
Две стороны — 12 и 13,25, каково среднее значение?
12.625 — Сложите два числа и разделите на 2.
Если он выглядит как квадрат, может ли каждый десятичный знак быть правильным?
Нет, нужно проверить ошибку — Графики лишь помогают установить интуицию; достаточно детальные результаты следует проверять, используя разность между двумя частями или уравнение замены.
Сначала попробуйте ответ, исправьте его по правилам, а затем проверьте результаты; это интуиция «последовательного приближения».
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · Нет. 5 глава
Общие алгоритмы и численные вычисления · Все интерактивные курсы