긴 정원을 단계별로 정사각형으로 바꾸는 방법은 무엇입니까?
영역을 그대로 유지하고 양면을 조정하며 "추측할수록 정확해진다"는 것을 눈으로 확인해보세요.
159제곱미터의 토지가 있고 이를 정사각형 모양으로 둘러싸고 싶습니다. 먼저 한 변을 무작위로 결정한 후 "면적 ¼ 변의 길이"를 사용하여 다른 변을 계산합니다. 양측이 동등하지 않습니까? 평균을 구하고 다시 시도하세요.
먼저 추측해 보세요
면적이 고정된 직사각형을 정사각형으로 바꾸려면 마지막 두 변은 무엇이어야 합니까?
정답과 설명 보기
같은 길이 — 정사각형의 인접한 두 변의 크기가 같더라도 면적은 여전히 같습니다.
그렇다면 경험과 과학을 연결하세요
알 수 없는 변의 길이를 추측으로 대체
파란색 점은 추측 x이고, 회색 점은 159/x입니다. 둘의 합은 항상 159가 되는데, 이는 종종 정사각형이 아닙니다.
길이 × 너비 = x × (159/x) = 159
양측이 중앙에 가까워진다.
하나가 너무 짧으면 다른 하나는 너무 길어집니다. 측면 길이에 대한 다음 추측으로 평균을 내십시오.
xnew = (xold + 159/xold) / 2
같은 규칙을 반복하세요.
수정 횟수를 변경하고 두 점이 점차 겹쳐지는 것을 관찰합니다. 초기값이 다르면 필요한 단계 수에 영향을 주지만 이 문제의 양의 제곱근은 변경되지 않습니다.
12 → 12.625 → 12.6095297 → …
원래 문제 확인으로 되돌리기
마지막 두 숫자만 보지 말고 현재 변의 길이를 제곱하여 159에서 얼마나 떨어져 있는지 확인하세요.
잔차 = x² − 159
계산 과정 펼치기
xₙ₊₁ = (xₙ + N/xₙ)/2 rₙ = xₙ² − N
N=159; 양수부터 시작하세요. 먼저 N/x를 계산한 다음 이전 x로 평균을 계산합니다. 잔차가 0에 가까우면 이는 사각형이 목표에 가깝다는 의미이며 모든 숫자가 정확하다는 의미는 아닙니다.
한번 시도해 보세요
초기값을 12에서 1로 변경하고 점차적으로 수정 횟수를 늘려갑니다. 6단계를 거쳐 원하는 정확도를 달성하셨나요?
한번보세요 →
기호를 외울 필요가 없습니다
- x
- 현재 양의 변 길이 추측
- 159/x
- 직사각형의 반대편은 159의 면적을 보장합니다.
- 잔여
- 후보 답을 다시 원래 방정식에 대입한 후 남은 차이
알고리즘, 정확성 및 적용 범위
Chapter 5 예제 5.a, 48페이지 인쇄. 여기서는 양의 제곱근의 반복만 설명하고 어떤 반복도 수렴한다고 결론 내릴 수 없습니다. 초기값은 양수로 제한되며 최대 6단계까지 표시할 수 있습니다. "소진된 단계 수"는 "도달 정확도"라고 하지 않습니다. 독립적 검증은 이분근 찾기, 단계별 값 예약 및 잔차를 사용합니다. AA+의 AAKepler는 또 다른 반복 애플리케이션이지만 이 예에서는 구현되지 않았습니다.
내 이해 확인
각 조정 후에 정원 면적이 변경되었습니까?
아니요, 아직 159입니다. — 다른 변은 항상 첫 번째 변을 159로 나누므로 넓이는 항상 남습니다.
양측이 12와 13.25인데 평균은 얼마입니까?
12.625 — 두 숫자를 더한 후 2로 나눕니다.
정사각형처럼 보이면 소수점 이하 자릿수까지 다 맞을 수 있나요?
아니요, 오류를 확인해야 합니다 — 그래프는 직관을 확립하는 데에만 도움이 됩니다. 충분히 세분화된 결과는 양측의 차이나 대입식을 이용하여 확인해야 합니다.
먼저 답을 시도하고 규칙에 맞게 수정한 다음 결과를 확인하세요. 이것이 "연속 근사"의 직관입니다.
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 아니요. 5 장